Lekcja 3. Inne rodzaje liczb i działań matematycznych

Obejrzyj poniższy film. Nie przejmuj się, jeśli nie wszystko w nim zrozumiesz. Najważniejsze jest to, aby obejrzeć ten film przed przeczytaniem tekstu. Dzięki temu poznasz sposób wymowy słownictwa zanim zobaczysz je w formie tekstowej. Następnie przeczytaj tekst i wykonaj ćwiczenia pod spodem.

Rational and irrational numbers

A rational number is any number that can be expressed as the quotient or fraction p/q of two integers, p and q, with the denominator q not equal to zero. Since q may be equal to 1, every integer is a rational number. The set of all rational numbers is usually denoted by a boldface Q.

A real number that is not rational is called irrational. Irrational numbers include $\sqrt{2}$ (the square root of two), π (a transcendental number), e (Euler’s number), and φ (the golden ratio). Irrational numbers cannot be represented as repeating decimals.

Real numbers

A real number is a value that represents a quantity along a continuous line and thus real numbers can be thought of as points on an infinitely long line called the number line or real line. Any real number can be determined by a possibly infinite decimal representation such as 8.632, where each consecutive digit is measured in units one tenth the size of the previous one.

Integer numbers

An integer is a number that can be written without a fractional component. For example, 21, 4, 0 (natural numbers), 0, and −2048 (negative integers) are integers, while 9.75, 5½, and √2 are not. The set of integers is often denoted by a boldface Z.

Absolute value

The absolute value (or modulus) |x| of a real number x is the non-negative value of x without regard to its sign. For example, the absolute value of 3 is 3, and the absolute value of −3 is also 3.

Other symbols and operations

In mathematics there are two common types of operations: unary and binary. Unary operations involve only one value, such as negation. Binary operations, on the other hand, take two values, and include addition, subtraction, multiplication, division, and exponentiation. The table below shows a summary of all previously described operations and several new operations as well as some useful symbols.

Operation	Description	Example
=	is equal to	a = b means a is equal to b
≠	is not equal to	a ≠ b means a is not equal to b
<	is less than	a < b means a is less than b
>	is greater than	a > b means a is greater than b
≤	is less than or equal to	a ≤ b means a is less than or equal to b
≥	is greater than or equal to	a ≥ b means a is greater than or equal to b
||	absolute value	|a| means the absolute value of a
%	percent	10% means 10 percent
a:b	ratio of a to b	a:b means the ratio of a to b
$\frac{1}{100}$	common fraction	a over b
bn	exponentiation	bn means b to the power of n; b2 means b squared; b3 means b cubed
$\sqrt[\mathrm{}]{}$	root	$\sqrt[\mathrm{}]{a}$ means square root of a, $\sqrt[3]{b}$ cube root of b, $\sqrt[\mathrm{n}]{c}$ means nth root of c
+	addition	a + b means a plus b
−	subtraction or negation	a − b means a minus b; −a means negative a
×	multiplication	a × b means a times b or a multiplied by b
÷	division	a ÷ b means a divided by b
∈	an element of a set	a ∈ B means a is an element of the set B or a is an element of B
∉	not an element of a set	a ∉ B means a is not an element of the set B or a is not an element of B
{,}	the set of	{a,b,c} means the set consisting of a, b, and c

Słownictwo

along

wzdłuż, tu: na

binary operation

działanie dwuargumentowe, operacja dwuargumentowa

boldface

pismo pogrubione

common fraction

ułamek zwykły

consecutive

kolejny

continuous

ciągły

cube root

pierwiastek sześcienny, pierwiastek trzeciego stopnia

cubed

do sześcianu, do potęgi trzeciej

decimal

dziesiętny, liczba dziesiętna, ułamek dziesiętny

denominator

mianownik

Euler’s number

liczba Eulera

exponentiation

potęgowanie

fraction

ułamek

fractional component

część ułamkowa

infinite

nieskończony

infinitely long

nieskończenie długi

integer

całkowity, liczba całkowita

irrational number

liczba niewymierna

is equal to

jest równy

is greater than

jest większy niż

is greater than or equal to

jest większy lub równy

is less than

jest mniejszy niż

is less than or equal to

jest mniejszy lub równy

is not equal to

nie jest równy

negation

negacja

negative

ujemny

non-negative

nieujemny

number line

oś liczbowa

on the other hand…

natomiast, z drugiej strony…

one tenth the size of…

jedna dziesiąta rozmiaru…

percent

procent

quantity

wielkość, ilość

quotient

iloraz, stosunek, współczynnik

rational number

liczba wymierna

real line

oś liczb rzeczywistych

real number

liczba rzeczywista

repeating decimal

ułamek okresowy

representation

reprezentacja

root

pierwiastek

sign

znak

since

ponieważ, jako że

square root of two

pierwiastek kwadratowy z dwóch

squared

do kwadratu, do potęgi drugiej

such as

taki, jak

the absolute value (modulus) of…

wartość bezwzględna (moduł) z

the golden ratio

złota proporcja

thus

zatem, stąd, tak więc

to be called…

być nazywanym

to be denoted by…

być oznaczanym przez

to be determined by…

być wyznaczanym przez, być określanym przez

to be measured in units of…

być mierzonym w jednostkach…

to be represented as…

być reprezentowanym jako

to be thought of as…

być postrzeganym jako, być uznawanym za, być uważanym za

to express

wyrażać

to take a value

przyjmować wartość

transcendental number

liczba przestępna

unary operation

działanie jednoargumentowe, operacja jednoargumentowa

value

wartość

with regard to

w odniesieniu do, licząc się z

without regard to

bez względu na

Ćwiczenia

1. Odpowiedz na poniższe pytania na podstawie obejrzanego filmu z początku lekcji.

• What are rational numbers?
• How can rational numbers be expressed?
• Is 0 a rational number?
• Can the denominator equal 0?
• What examples of irrational numbers does the author provide?
• Is every rational number a real number?
• Is every natural number also a whole number?
• What does the expression „and so on and so forth” mean?

2. Dopasuj słowa w kolumnie A do słów w kolumnie B.

rational	regard
fraction	component
equal	value
a set of	number
denoted	negative
square	or equal to
the golden	p/q
repeating	by
number	to
measured	ratio
fractional	numbers
absolute	in units
non-	line
without	decimal
binary	other hand
on the	operation
is greater than	root

3. Odpowiedz na pytania na podstawie tekstu z początku lekcji.

1. What are rational numbers?
2. What are real numbers?
3. What are irrational numbers?
4. What are integer numbers?
5. What irrational numbers do you know?
6. What can real numbers can be thought of as?
7. What can any real number be determined by?
8. What is the absolute value of a real number?
9. What is unary operation?
10. What is binary operation?
11. What unary operation do you know?
12. What binary operations do you know?

4. Napisz zdania według wzoru.

Z; integers → The set of integer numbers is denoted by Z.

1. {}; empty set
2. N; natural numbers
3. Q; rational numbers
4. R; real numbers
5. C; complex numbers
6. {2}; even prime numbers
7. {♠, ♦, ♥, ♣}; suits of playing cards
8. (2, 5]; real numbers x that satisfy 2 < x ≤ 5
9. [0, ∞); nonnegative real numbers
10. −a; additive inverse of a real number a
11. n!; factorial of n

5. Rozwiąż zagadkę. Odpowiedź możesz napisać w komentarzu na dole strony.

Dwóch studentów matematyki spotkało się po latach kawiarni. Gdy rozmowa zeszła na temat dzieci, jeden z nich pochwalił się, że ma trzy córki. Wieku nie podał wprost, lecz rzekł:

— Iloczyn wieku moich córek wynosi 36.

— Za mało danych bym odgadł wiek Twoich córek — odrzekł kolega.

— Suma wieku moich córek jest równa liczbie stolików w tej kawiarni — dodał tata matematyk.

— Ciągle za mało danych — odpowiedział kolega.

— Masz rację. Wiedz zatem, że najstarsza nie jest blondynką — dopowiedział ojciec trzech córek.

I wówczas jego kolega bezbłędnie wymienił wiek każdej z trzech córek swojego przyjaciela. Ile lat mają córki matematyka?

6. Zapisz poniższe ułamki na dwa sposoby według wzoru.

1/10 → one tenth; one over ten

1. $\frac{14}{17}$
2. $\frac{11}{8}$
3. $\frac{3}{4}$
4. $\frac{2}{3}$
5. $\frac{1}{5}$
6. $\frac{1}{4}$
7. $\frac{5}{7}$
8. $\frac{27}{42}$
9. $\frac{6}{7}$
10. $\frac{8}{11}$

7. Napisz równania i nierówności według wzoru.

2 + 7 = 9 → 2 plus 7 is equal to 9

1. 2 + 4 = 6
2. 3 + 7 ≠ 8
3. 27/29 < 42/24
4. $\sqrt[\mathrm{}]{\mathrm{144}}$ > $\sqrt[\mathrm{}]{9}$
5. x + 5 ≤ 7
6. p – 1 ≥ 12
7. |−5| = 5
8. 25% = 25/100 = 1/4
9. 2¹⁰ = 1024
10. $\sqrt[3]{\mathrm{343}}$ = 7

8. Przepisz zdania według wzoru.

π can be called a transcendental number. → You can call π a transcendental number.

1. A rational number can be expressed as the quotient of two integers.
2. Irrational numbers cannot be represented as repeating decimals.
3. Real numbers can be thought of as points on the number line.
4. A real number can be determined by a possibly infinite decimal representation.
5. An integer can be written without a fractional component.
6. The set of integers can be denoted by a boldface Z.
7. The absolute value of x can be expressed as |x|.
8. A unary operation can be given only one operand.
9. A binary operation can be used to operate on two operands.
10. Zero cannot be used as a denominator.

9. Odpowiedz na pytania według wzoru na podstawie tekstu z początku lekcji. Powtórz ćwiczenie tyle razy, ile trzeba, aby odpowiadać na te pytania bez patrzenia w tekst.

Are natural numbers denoted by Z? → No, natural numbers aren’t denoted by Z. Natural numbers are denoted by N, and Z is used to denote integer numbers.

1. Are integer numbers denoted by R?
2. Are rational numbers denoted by C?
3. Are complex numbers denoted by N?
4. Are real numbers denoted by Q?

10. Rozwiąż oraz przeczytaj na głos równania i nierówności.

1. 2 + 7² =
2. 2 − $\sqrt[\mathrm{}]{4}$ < 17
3. |−10| × 40% × 10 ≠ 7
4. $\sqrt[\mathrm{}]{9}$ ÷ 3 =
5. 17 + 2¹⁰ =
6. $\frac{1}{2}$ − $\frac{3}{4}$ =
7. 6 × |−3| =
8. $\sqrt[3]{8}$ ÷ 4 ≠ 3⁷
9. 3$\sqrt[\mathrm{}]{3}$ − 14% × 100 < 30
10. 11² − 2 > 4
11. 4x + 12y ≤ |247z|
12. $\sqrt[\mathrm{}]{\mathrm{7p}}$ ÷ 11^q ≥ 24
13. $\frac{1}{7}$ + $\frac{2}{7}$ =
14. 3³ + 2² =
15. $\sqrt[4]{\mathrm{16}}$ =
16. 1 + 1 =
17. 2 − 12 =
18. 3 × 6 =
19. 10000 ÷ 10 =
20. $\sqrt[3]{8}$ × 3⁸ + 12 =

11. Przeczytaj definicje zbiorów według przykładu.

{x | x ∈ N, x < 20} → the set of all x, such that x is an element of the natural numbers and x is less than 20

1. {p | p ∈ R, p > 100}
2. {x | x ∈ Q, x ≥ 30}
3. {y | y ∈ Z, y < 12}
4. {z | z ∈ N, z > 27}
5. {i | i ∈ R, i ≤ 247}

12. Przetłumacz poniższe teksty na język angielski.

1. Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić w postaci stosunku p/q dwóch liczb całkowitych p/q, przy czym mianownik q nie może być równy 0. Każda liczba wymierna to także liczba całkowita. Zbiór liczb wymiernych zazwyczaj oznacza się symbolem Q.
2. Liczba rzeczywista to liczba, którą można przedstawić jako punkt na linii ciągłej zwanej osią liczbową. Każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego, w którym każda kolejna cyfra oznacza wartość dziesięć razy mniejszą od poprzedniej. Zbiór liczb rzeczywistych zazwyczaj oznacza się symbolem R.
3. Liczba całkowita to liczba pozbawiona części ułamkowej. Wszystkie liczby całkowite są zarazem liczbami naturalnymi i rzeczywistymi. Zbiór liczb całkowitych zazwyczaj oznacza się symbolem Z.

13. Obejrzy poniższy film i odpowiedz na pytania.

1. If you know how to solve equations, solving inequalities is pretty difficult or pretty simple?
2. What does the author compare the greater than sign to?
3. What does the y ≤ 5 inequality mean?
4. Is solving inequalities the same as or different than solving equations?
5. If the solution of an inequality includes the result number, how do you mark it on the number line? How do you mark the result number if it isn’t included in the solution of the inequality?
6. What is a good way to check if a number satisfies an inequality?
7. What is the only difference between inequalities and equalities?
8. Graph the solution of the inequality 2x + 4 ≤ 16 on a number line.

14. Przetłumacz tekst z początku lekcji na język polski.

15. Ustnie streść tekst z początku lekcji, wykorzystując pytania z ćwiczenia drugiego jako plan. Ćwicz aż będziesz w stanie powiedzieć streszczenie bez zaglądania do tekstu.

16. Przetłumacz wiersz na język polski. Pochwal się swoim tłumaczeniem w komentarzu!

I’m sure that I will always be,
a lonely number like root three.
The three is all that’s good and right,
why must my three keep out of sight?

Beneath the vicious square root sign,
I wish instead I were a nine
For nine could thwart this evil trick,
with just some quick arithmetic.

I know I’ll never see the sun,
as 1.7321.
Such is my reality,
a sad irrationality.

When hark! What is this I see,
another square root of a three!
As quietly co-waltzing by,
together now we multiply
to form a number we prefer,
rejoicing as an integer.

We break free from our mortal bonds
with the wave of magic wands.
Our square root signs become unglued
Your love for me has been renewed.

Dave Feinberg