Obejrzyj poniższy film. Nie przejmuj się, jeśli nie wszystko w nim zrozumiesz. Najważniejsze jest to, aby obejrzeć go przed przeczytaniem tekstu.
Odpowiedz na poniższe pytania.
- What is one of many possible ways to represent natural numbers?
- What replaced the Roman numeral system?
- What does the modern decimal number system use?
- Depending on the column they occupy, what do digits determine?
- In decimal notation, what is the value of the right-most digit multiplied by?
- How do you determine the value of a number?
- How many digits are there in the octal number system?
- Is counting in octal similar to counting in decimal?
- What is the value of the octal number 1750 in the decimal number system?
- What can be sometimes seen after an octal or decimal number?
- What do digital computers use to represent numbers?
- What is the value of the binary number 11010 in the decimal number system?
- How many binary digits can be represented by a single octal symbol?
- How many binary digits can be represented by a single hexadecimal symbol?
- How many hex symbols represent one byte?
Positional notation
Positional notation is a method of representing numbers. It is distinguished from other notations (such as Roman numerals) by its use of the same symbol for the different orders of magnitude.
With the use of a radix point (decimal point in base-10), the notation can be extended to include fractions. The Babylonian numeral system, base-60, was the first positional system developed, and is still used today to count time and angles.
Base of the numeral system
The base or radix is usually the number of unique digits, including zero, that a positional numeral system uses to represent numbers. For example, for the decimal system the radix is 10, because it uses the 10 digits from 0 through 9. When a number „hits” 9, the next number will not be another different symbol, but a „1” followed by a „0”. In binary, the radix is 2, since after it hits „1”, instead of „2” or another written symbol, it jumps straight to „10”, followed by „11” and „100”.
In base-10 (decimal) positional notation, there are 10 decimal digits and
2506 = 2 × 103 + 5 × 102 + 0 × 101 + 6 × 100
In base-16 (hexadecimal), there are 16 hexadecimal digits (0–9 and A–F) and
171B = 1 × 163 + 7 × 162 + 1 × 161 + B × 160 (where B represents the number eleven as a single symbol)
Computing
In computing, the binary (base-2), octal (base-8) and hexadecimal (base-16) bases are most commonly used. Computers, at the most basic level, deal only with sequences of conventional zeroes and ones, thus it is easier in this sense to deal with powers of two. The hexadecimal system is used as „shorthand” for binary — every 4 binary digits (bits) relate to one and only one hexadecimal digit. In hexadecimal, the six digits after 9 are denoted by A, B, C, D, E, and F (and sometimes a, b, c, d, e, and f).
The octal numbering system is also used as another way to represent binary numbers. In this case the base is 8 and therefore only digits 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, and 7 are used. When converting from binary to octal every 3 bits relate to one and only one octal digit.
Vocabulary
- a method of representing numbers
- sposób reprezentacji liczb
- angle
- kąt
- at the most basic level
- na podstawowym poziomie, na najniższym poziomie
- Babylonian numeral system
- babiloński system liczbowy
- base
- podstawa (systemu liczbowego)
- base-10
- (system liczbowy o podstawie 10, dziesiętny system liczbowy)
- base-16
- (system liczbowy o podstawie 16, szesnastkowy system liczbowy)
- base-2
- (system liczbowy o podstawie 2, binarny system liczbowy)
- base-60
- (system liczbowy o podstawie 60)
- base-8
- (system liczbowy o podstawie 8, ósemkowy system liczbowy)
- binary
- binarny, dwójkowy, dwuargumentowy
- binary number
- liczba binarna
- computing
- obliczanie, tu w znaczeniu: komputery
- deal with
- pracować z
- decimal digit
- cyfra dziesiętna
- decimal point
- punkt dziesiętny (w programowaniu i anglosaskiej konwencji zapisu jest to kropka, ale w języku polskim stosuje się w tej roli przecinek)
- to distinguish sth from sth…
- odróżniać coś od czegoś…
- followed by
- po którym następuje…
- from 0 through 9
- od 0 do 9
- hexadecimal
- szesnastkowy
- hexadecimal digit
- cyfra szesnastkowa
- instead of
- zamiast
- most commonly used
- najczęściej używany
- octal
- ósemkowy
- one and only one
- jeden i tylko jeden, dokładnie jeden
- order of magnitude
- rząd wielkości
- positional notation
- notacja pozycyjna
- power of two
- potęga dwójki
- radix podstawa
- systemu liczbowego
- radix point
- punkt dziesiętny
- Roman numerals
- liczby rzymskie
- sequence of zeroes and ones
- sekwencja zer i jedynek
- shorthand
- skrót
- to extend sth
- to include rozszerzyć coś o
- to convert
- przekonwertować
- to hit a value
- osiągnąć pewną wartość
- to jump straight to…
- przejść prosto do…
- to relate to sth
- odpowiadać czemuś
- unique
- niepowtarzalny, jedyny
- with the use of
- za pomocą, przy użyciu
Exercises
Exercise 1. Match the words in column A with the words in column B.
| Roman | notation |
| radix | representing numbers |
| instead | numerals |
| followed | magnitude |
| order of | point |
| one and | to include |
| to be extended | through 9 |
| method of | by |
| from 0 | digit |
| positional | of |
| hexadecimal | only one |
Exercise 2. Answer the following questions.
- What is positional notation?
- How is positional notation different from other notations?
- What can you do with the use of a radix point?
- What was the first positional system developed?
- What is the base-60 numeral system used for?
- What is the radix?
- What bases are most commonly used in computing?
- What is base-2, base-8 and base-16?
Exercise 3. Translate into English and write down the second part of the following sentences as in the example.
Computers…
- …wykonują operacje na sekwencjach zer i jedynek. (…deal with sequences of zeroes and ones.)
- …wykonują operacje na liczbach.
- …wykonują operacje na liczbach szesnastkowych.
- …wykonują operacje na danych.
- …wykonują operacje na liczbach ósemkowych.
- …wykonują operacje na liczbach binarnych.
- …wykonują operacje na danych dowolnego typu.
- …wykonują operacje na ułamkach dziesiętnych.
- …wykonują operacje na bitach danych.
Exercise 4. Repeat the above exercise orally. Don’t look at the sentences you’ve written.
Exercise 5. Convert the following hexadecimal numbers into decimal numbers. Write the whole computations and read them aloud.
Example: 7DE -> (7 × 162) + (13 × 161) + (14 × 160)
- 3DC
- 9AB
- ABCD
- 8EF
- 666
Exercise 6. Translate the following texts into English as shown in the example.
W binarnym systemie pozycyjnym podstawą jest liczba 2, ponieważ w użyciu są dwie niepowtarzające się cyfry — 0 i 1. Gdy liczba osiągnie wartość 1, następną liczbą nie jest kolejny symbol, tylko liczba „1” i po niej „0”. Za pomocą kropki pozycyjnej notację binarną można rozszerzyć o ułamki.
In binary positional notation the radix is 2, because there are 2 decimal digits — 0 and 1. When a number hits 1, the next number will not be another different symbol, but a "1" followed by a "0". With the use of a radix point, the octal notation can be extended to include fractions.
- W ósemkowym systemie pozycyjnym podstawą jest liczba 8, ponieważ w użyciu jest osiem niepowtarzających się cyfr — od 0 do 7. Gdy liczba osiągnie wartość 7, następną liczbą nie jest kolejny symbol, tylko liczba „1” i po niej „0”. Za pomocą kropki pozycyjnej notację ósemkową można rozszerzyć o ułamki.
- W dziesiętnym systemie pozycyjnym podstawą jest liczba 10, ponieważ w użyciu jest dziesięć niepowtarzających się cyfr — od 0 do 9. Gdy liczba osiągnie wartość 9, następną liczbą nie jest kolejny symbol, tylko liczba „1” i po niej „0”. Za pomocą kropki pozycyjnej notację dziesiętną można rozszerzyć o ułamki.
- W szesnastkowym systemie pozycyjnym podstawą jest liczba 16, ponieważ w użyciu jest szesnaście niepowtarzających się cyfr — od 0 do F. Gdy liczba osiągnie wartość F, następną liczbą nie jest kolejny symbol, tylko liczba „1” i po niej „0”. Za pomocą kropki pozycyjnej notację szesnastkową można rozszerzyć o ułamki.
Exercise 7. Pewien szalony naukowiec postanowił krzyżować różne zwierzęta. Wyobraź sobie, że jesteś tym naukowcem i udało ci się skrzyżować jeża z krową. Naszkicuj na papierze, jak mogłaby wyglądać taka krzyżówka.
Exercise 8. Complete the sentences. The first letter of each missing word has been provided.
- Positional n…………… is a m…………… of representing n…………… and uses the same symbol for the different orders of m……………. With the use of a r…………… point, the notation can be e…………… to i…………… fractions.
- The b…………… is usually the number of u…………… digits, including zero, that a positional numeral system uses to represent numbers. For the decimal system the radix is 10, because it uses the 10 digits from 0 t…………… 9. In b……………, the radix is 2, since it uses only 2 digits.
- In c……………, the b…………… (base-2), o…………… (base-8) and h…………… (base-16) bases are most c…………… used. Computers, at the m…………… basic level, d…………… only with s…………… of conventional zeroes and ones, thus it is easier in this sense to deal with p…………… of two.
Exercise 9. Expand the following formal statements as shown in the example.
∃!n ∈ N(n − 2 = 4) -> there is one and only one natural number n such that n − 2 = 4
- ∃! ∈ N(n − 5 = 20)
- ∃! ∈ Q(n + 30 = 60)
- ∃! ∈ R(n ÷ 5 = 2.5)
- ∃! ∈ Z(n × 5 = −40)
- ∃! ∈ N(n − 12 = 57)
- ∃! ∈ Z(n ÷ 15 = −90)
- ∃! ∈ Z(n ÷ 15 = −6)
- ∃! ∈ R(n × 2.7 = 18.36)
Exercise 10. Read the above sentences replacing the expression one and only one with exactly one .
Exercise 11. Play the video from the beginning of the lesson again, turn on English subtitles and speak together with the speaker. Repeat the exercise as many times as is necessary to speak fluently.
Exercise 12. Watch the following video and answer the following questions.
- What is scientific notation used for?
- What does scientific notation take advantage of?
- What does 103 mean?
- What is the mass of a proton?
- What does 10-3 mean?
- If the Sun were entirely made of protons, how many protons would there be in the Sun? (see the answer)
Exercise 13. Translate the text into Polish.
Exercise 14. Summarize the text orally using the questions from exercise 2 as an outline. Practice until you can say the summary without looking at the text.
Exercise 15. Translate the poem into Polish and do the computations described in it. Show your translation off in a comment at the bottom of the page! This exercise is optional but recommended.
Taking Three as the subject to reason about—
A convenient number to state—
We add Seven, and Ten, and then multiply out
By One Thousand diminished by Eight.
"The result we proceed to divide, as you see,
By Nine Hundred and Ninety and Two:
Then subtract Seventeen, and the answer must be
Exactly and perfectly true.
The Hunting of the Snark, Lewis Carroll
