Lekcja 2. Natural numbers

13 października 2015
1 gwiadka2 gwiazdki3 gwiazdki4 gwiazdki5 gwiazdek

Obejrzyj poniższy film. Nie przejmuj się, jeśli nie wszystko w nim zrozumiesz. Najważniejsze jest to, aby obejrzeć go przed przeczytaniem tekstu.

Natural numbersliczby naturalne (sometimes called the whole numbersliczby całkowite) are those used for countingliczenie (as in "there are six coins on the table") and orderingporządkowanie (as in "this is the third largest city in the country"). In common language, words used for counting are "cardinal numbersliczebniki główne" and words used for ordering are "ordinal numbersliczebniki porządkowe".

The natural numbers are the basispodstawa from which many other number setszbiory liczb may be built by extensionrozszerzenie: the integersliczby całkowite, the rational numbersliczby wymierne, the real numbersliczby rzeczywiste, the complex numbersliczby zespolone, and so oni tak dalej. Therefore, the natural numbers are canonically embeddedzasadniczo wbudowane (identified) in the other number systems.

Propertieswłaściwości of the natural numbers, such as divisibilitypodzielność and the distributionrozkład of prime numbersliczby pierwsze, are studied in number theorysą przedmiotem badań teorii liczb. Problems concerning counting and ordering are studied in combinatoricskombinatoryka.

There is no universal agreement about whether to include zero in the set of natural numbers. Some authors beginzaczynać the natural numbers with 0, corresponding toodpowiadający the non-negative integersnieujemne liczby całkowite 0, 1, 2, 3, …, whereaspodczas gdy others start with 1, corresponding to the positive integersdodatnie liczby całkowite 1, 2, 3,…

Notation

Mathematiciansmatematycy usually use N to refer to the set of all natural numbers. This set is countably infiniteprzeliczalny: it is infinite but countable by definitionz definicji.

Algebraic properties satisfied by the natural numbers

The addition (+) and multiplication (×) operations on natural numbers have several algebraic propertieswłaściwości algebraiczne:

  • Closuredomknięcie under addition and multiplication: for alldla wszystkich natural numbers a and b, both a + b and a × b are natural numbers.
  • Associativityłączność: for all natural numbers a, b, and c, a + (b + c) = (a + b) + c and a × (b × c) = (a × b) × c .
  • Commutativityprzemienność: for all natural numbers a and b, a + b = b + a and a × b = b × a.
  • Existence of identity elementselementy identycznościowe: for every natural number a, a + 0 = a and a × 1 = a.
  • Distributivityrozdzielność of multiplication over addition: for all natural numbers a, b, and c, a × (b + c) = (a × b) + (a × c) .
  • No nonzeroniezerowy zero divisorsdzielnik: if a and b are natural numbers such thattaki że a × b = 0, then a = 0 or b = 0.

Vocabulary

algebraic properties
właściwości algebraiczne
and so on
i tak dalej
associativity
łączność
begin with…
zaczynać od…
bold
pogrubienie, pogrubiony
bracket
nawias
by definition
z definicji
canonical
kanoniczny, podstawowy, zasadniczy
cardinal number
liczebnik główny
closure
domknięcie
combinatorics
kombinatoryka
commutativity
przemienność
complex number
liczba zespolona
corresponding to…
odpowiadający…
countably infinite set
zbiór przeliczalny
distribution
rozkład
distributivity
rozdzielność
divisibility
podzielność
divisor
dzielnik
embedded
zanurzony, wcielony
extension
rozszerzenie
for all
dla wszystkich
identity element
element identycznościowy
integer
liczba całkowita
mathematician
matematyk
natural number
liczba naturalna
non-negative
nieujemny
nonzero
niezerowy, różny od zera
number set
zbiór liczbowy
number theory
teoria liczb
ordering
uporządkowanie, porządek
ordinal number
liczebnik porządkowy
positive
dodatni
prime number
liczba pierwsza
property
własność, właściwość
rational number
liczba wymierna
real number
liczba rzeczywista
studied in…
badany w…, będący przedmiotem badań…
such that
taki, że (informacje o tym, czy przed „że” stawiać przecinek)
There is no universal agreement about…
Nie ma powszechnej zgody co do…
to count
liczyć
whereas
podczas gdy
whole number
liczba całkowita

Exercises

Exercise 1. Match the words in column A with the words in column B.

naturalin
numberset
suchon
numberinfinite
and sodefinition
studiedprime numbers
correspondingnumber
distribution ofthat
countablyto
bytheory

Exercise 2. Answer the following questions.

  1. What are natural numbers?
  2. What are natural numbers sometimes called?
  3. What are words used for counting called in common language?
  4. What are words used for ordering called in common language?
  5. What other number sets may be built on the basis of the natural numbers?
  6. Is 0 included in the set of natural numbers?
  7. What symbol is usually used to refer to the natural numbers?
  8. What algebraic properties do the natural numbers have? Can you define them?

Exercise 3. Listed below are algebraic properties of real numbers. Write sentences describing them as shown in the example.

Example: Closure under addition: a + b; natural number. → For all natural numbers a and b, a + b is a natural number.

  1. Closure under multiplication: a × b; natural number
  2. Associativity under addition: a + (b + c) = (a + b) + c
  3. Associativity under multiplication: a × (b × c) = (a × b) × c
  4. Commutativity under addition: a + b = b + a
  5. Commutativity under multiplication: a × b = b × a
  6. Identity: a + 0 = a; a × 1 = a
  7. Distributivity of multiplication over addition: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
  8. Addition property of equality: if a = b, then a + c = b + c
  9. Multiplication property of equality: if a = b, then ac = bc

Exercise 4. Solve the following equations.

  • x + 4 = 16
  • x – 8 = 21
  • y × 6 = 36
  • 12 + 4 =
  • 49 ÷ 7 =
  • 17 × z =234
  • 2 + 2 =
  • 11 – p = 12
  • 13 × q = 130
  • 12 ÷ z = 4

Exercise 5. Translate the second part of the following sentences into English.

There is exactly…

  • jedna liczba naturalna n, taka że n − 2 = 4.
  • jedna liczba całkowita x, taka że x × 3 = −6.
  • jedna liczba wymierna y, taka że y + 8 = 8⅕.
  • jedna liczba naturalna z, taka że z ÷ 4 = 4.
  • jedna liczba rzeczywista p, taka że p × 5 = 25.

Exercise 6. Translate the following sentences into English. Use the expression „studied in”.

  1. Podzielność i rozkład liczb pierwszych są przedmiotem badań teorii liczb.
  2. Rozkład i uporządkowanie liczb naturalnych są przedmiotem badań kombinatoryki.
  3. Liczby naturalne są przedmiotem badań teorii liczb.
  4. Zbiory liczb są przedmiotem badań teorii zbiorów.
  5. Liczby są przedmiotem badań matematyki.
  6. Liczby rzeczywiste są przedmiotem badań teorii liczb.
  7. Liczby zespolone są przedmiotem badań teorii liczb.
  8. Właściwości liczb wymiernych są przedmiotem badań teorii liczb.

Exercise 7. Change the following sentences into the passive voice as in the example.

Example: You use natural numbers for counting. → Natural numbers are used for counting.

  1. You use cardinal numbers for counting.
  2. You use ordinal numbers for ordering.
  3. You use N to refer to the set of all natural numbers.
  4. You use real numbers for measurement.
  5. You use digits to represent numbers.
  6. You use natural numbers to express the size of a finite set.
  7. You use ordinal numbers to describe the „size” of a well-ordered set.
  8. You use real numbers to measure continuous quantities.
  9. You use rational numbers to express fractions.
  10. You use the + operator for addition.
  11. You use the − operator for subtraction.
  12. You use the × operator for multiplication.
  13. You use the ÷ operator for division.
  14. In computer programming you use the slash (/) for division.

Exercise 8. Jesteś leśniczym i polecono ci zasadzić 10 drzew w pięciu rzędach po cztery drzewa. Jak to zrobisz? Rozwiązanie możesz wpisać w komentarzu na dole strony.

Exercise 9. Fill in the blanks with the words or expressions provided below.

natural whole counting ordering cardinal ordinal from sets extension on properties distribution numbers theory combinatorics with to non positive countably

A.
………. numbers (sometimes called the ………. numbers) are those used for ………. and ……….. In common language, words used for counting are „………. numbers” and words used for ordering are „………. numbers”.

B.
The natural numbers are the basis ………. which many other number ………. may be built by ……….: the integers, the rational numbers, the real numbers, the complex numbers, and so ………..

C.
………. of the natural numbers, such as divisibility and the ………. of prime ………., are studied in number ……….. Problems concerning counting and ordering are studied in ………..

D.
Some mathematicians begin the natural numbers ………. 0, corresponding to the ……….-negative integers 0, 1, 2, 3, …, whereas others start with 1, corresponding to the ………. integers 1, 2, 3, …. The set of all natural is ………. infinite: it is infinite but countable by definition.

Exercise 10. Translate the text into Polish.

Exercise 11. Summarize the text orally using questions from exercise 2 as a plan. Practice until you can say the summary without looking at the text.

Exercise 12. Watch the video from the beginning of the lesson again and answer the following questions.

  1. What three types of numbers does the author describe?
  2. What other thing is important in algebra?
  3. What does infinity mean?
  4. What’s the difference between natural and whole numbers?
  5. What are the short bars crossing the number line called?
  6. What is the general subject matter of the series of videos?
  7. What does the expression "stay tuned for lesson two" mean?

Źródła:

Treść tej strony dostępna jest na zasadach licencji CC BY 3.0

Zobacz również:

Autor: Łukasz Piwko

Tłumacz angielskiej i francuskiej literatury specjalistycznej, nauczyciel, wykładowca i maniak technologii programistycznych. Interesuje go wszystko, co związane z programowaniem i tłumaczeniem tekstów na ten temat na język polski. W wolnym czasie czyta Balzaka, słucha muzyki i trenuje karate.

1 komentarz

  1. Będzie, że się czepiam, ale w zadaniu 9 coś słabo pomieszane są te słowa. Pozdrawiam !

    Odpowiedz

Dyskusja

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *