Lekcja 3. Other types of numbers and operations

10 listopada 2015
1 gwiadka2 gwiazdki3 gwiazdki4 gwiazdki5 gwiazdek

Obejrzyj poniższy film. Nie przejmuj się, jeśli nie wszystko w nim zrozumiesz. Najważniejsze jest to, aby obejrzeć go przed przeczytaniem tekstu.

Odpowiedz na poniższe pytania.

  • What are rational numbers?
  • How can rational numbers be expressed?
  • Is 0 a rational number?
  • Can the denominator equal 0?
  • What examples of irrational numbers does the author provide?
  • Is every rational number a real number?
  • Is every natural number also a whole number?
  • What does the expression „and so on and so forth” mean?

Rational and irrational numbers

A rational numberliczba wymierna is any number that can be expressedmożna wyrazić as the quotientstosunek or fractionułamek p/q of two integers, p and q, with the denominatormianownik q not equal to zero. Sinceponieważ q may be equal to 1, every integer is a rational number. The set of all rational numbers is usually denoted byoznaczany przez a boldface Q.

A real number that is not rational is calledzwany irrational. Irrational numbersliczby wymierne include 2 (the square root of twopierwiastek kwadratowy z dwóch), π (a transcendental numberliczba przestępna), e (Euler’s numberLiczba Eulera), and φ (the golden ratiozłota proporcja). Irrational numbers cannot be represented as repeating decimalsbyć reprezentowanym jako ułamek okresowy.

Real numbers

A real numberliczba rzeczywista is a valuewartość that represents a quantitywielkość alongwzdłuż, na a continuousciągły line and thustak, w ten sposób, dlatego real numbers can be thought of asmogą być traktowane jako points on an infinitely longnieskończenie długi line called the number lineoś liczbowe or real lineoś liczb rzeczywistych. Any real number can be determinedwyznaczyć by a possibly infinite decimal representation such astaki, jak 8.632, where each consecutivekolejny, występujący obok digit is measuredmierzony in unitsjednostki one tenthjedna dziesiąta the size of the previous one.

Integer numbers

An integerliczba całkowita is a number that can be written without a fractional componentczęść ułamkowa. For example, 21, 4, 0 (natural numbers), 0, and −2048 (negative integersliczby ujemne) are integers, while 9.75, 5½, and √2 are not. The set of integers is often denoted by a boldfacepogrubiony Z.

Absolute value

The absolute valuewartość bezwzględna (or modulusmoduł) |x| of a real number x is the non-negativenieujemny value of x without regard tobez względu na its signznak. For example, the absolute value of 3wartość bezwzględna z 3 is 3, and the absolute value of −3 is also 3.

Other symbols and operations

In mathematics there are two common types of operations: unary and binary. Unary operationsoperacje jednoargumentowe involve only one value, such as negationnegacja. Binary operationsoperacje dwuargumentowe, on the other handz drugiej strony, natomiast, takepobierać, przyjmować two values, and include addition, subtraction, multiplication, division, and exponentiationpotęgowanie. The table below shows a summary of all previously described operations and several new operations as well as some useful symbols.

OperationDescriptionExample
=is equal torównya = b means a is equal to b
is not equal tonie równya ≠ b means a is not equal to b
<is less thanmniejszy niża < b means a is less than b
>is greater thanwiększy niża > b means a is greater than b
is less than or equal tomniejszy lub równya ≤ b means a is less than or equal to b
is greater than or equal towiększy lub równya ≥ b means a is greater than or equal to b
||absolute value|a| means the absolute value of a
%percentprocent10% means 10 percent
a:bratio of a to ba:b means the ratio of a to b
1100common fractiona over b
bnexponentiationbn means b to the power of n; b2 means b squareddo kwadratu, do potęgi drugiej; b3 means b cubeddo sześcianu, do potęgi trzeciej
roota means square root of a, b3 cube root of b, cn means nth root of c
+additiona + b means a plus b
subtraction or negationa − b means a minus b; −a means negative a
×multiplicationa × b means a times b or a multiplied by b
÷divisiona ÷ b means a divided by b
an element of a seta ∈ B means a is an element of the set B or a is an element of B
not an element of a seta ∉ B means a is not an element of the set B or a is not an element of B
{,}the set of{a,b,c} means the set consisting of a, b, and c

Vocabulary

along
wzdłuż, tu: na
binary operation
działanie dwuargumentowe, operacja dwuargumentowa
boldface
pismo pogrubione
common fraction
ułamek zwykły
consecutive
kolejny
continuous
ciągły
cube root
pierwiastek sześcienny, pierwiastek trzeciego stopnia
cubed
do sześcianu, do potęgi trzeciej
decimal
dziesiętny, liczba dziesiętna, ułamek dziesiętny
denominator
mianownik
Euler’s number
liczba Eulera
exponentiation
potęgowanie
fraction
ułamek
fractional component
część ułamkowa
infinite
nieskończony
infinitely long
nieskończenie długi
integer
całkowity, liczba całkowita
irrational number
liczba niewymierna
is equal to
jest równy
is greater than
jest większy niż
is greater than or equal to
jest większy lub równy
is less than
jest mniejszy niż
is less than or equal to
jest mniejszy lub równy
is not equal to
nie jest równy
negation
negacja
negative
ujemny
non-negative
nieujemny
number line
oś liczbowa
on the other hand…
natomiast, z drugiej strony…
one tenth the size of…
jedna dziesiąta rozmiaru…
percent
procent
quantity
wielkość, ilość
quotient
iloraz, stosunek, współczynnik
rational number
liczba wymierna
real line
oś liczb rzeczywistych
real number
liczba rzeczywista
repeating decimal
ułamek okresowy
representation
reprezentacja
root
pierwiastek
sign
znak
since
ponieważ, jako że
square root of two
pierwiastek kwadratowy z dwóch
squared
do kwadratu, do potęgi drugiej
such as
taki, jak
the absolute value (modulus) of…
wartość bezwzględna (moduł) z
the golden ratio
złota proporcja
thus
zatem, stąd, tak więc
to be called…
być nazywanym
to be denoted by…
być oznaczanym przez
to be determined by…
być wyznaczanym przez, być określanym przez
to be measured in units of…
być mierzonym w jednostkach…
to be represented as…
być reprezentowanym jako
to be thought of as…
być postrzeganym jako, być uznawanym za, być uważanym za
to express
wyrażać
to take a value
przyjmować wartość
transcendental number
liczba przestępna
unary operation
działanie jednoargumentowe, operacja jednoargumentowa
value
wartość
with regard to
w odniesieniu do, licząc się z
without regard to
bez względu na

Exercises

Exercise 1. Match the words in column A with the words in column B.

rationalregard
fractioncomponent
equalvalue
a set ofnumber
denotednegative
squareor equal to
the goldenp/q
repeatingby
numberto
measuredratio
fractionalnumbers
absolutein units
non-line
withoutdecimal
binaryother hand
on theoperation
is greater thanroot

Exercise 2. Answer the following questions.

  1. What are rational numbers?
  2. What are real numbers?
  3. What are irrational numbers?
  4. What are integer numbers?
  5. What irrational numbers do you know?
  6. What can real numbers can be thought of as?
  7. What can any real number be determined by?
  8. What is the absolute value of a real number?
  9. What is unary operation?
  10. What is binary operation?
  11. What unary operation do you know?
  12. What binary operations do you know?

Exercise 3. Write the sentences following the example.

Z; integers -> The set of integer numbers is denoted by Z.

  1. {}; empty set
  2. N; natural numbers
  3. Q; rational numbers
  4. R; real numbers
  5. C; complex numbers
  6. {2}; even prime numbers
  7. {♠, ♦, ♥, ♣}; suits of playing cards
  8. (2, 5]; real numbers x that satisfy 2 < x ≤ 5
  9. [0, ∞); nonnegative real numbers
  10. −a; additive inverse of a real number a
  11. n!; factorial of n

Exercise 4. Rozwiąż zagadkę. Odpowiedź możesz napisać w komentarzu na dole strony.

Dwóch studentów matematyki spotkało się po latach kawiarni. Gdy rozmowa zeszła na temat dzieci, jeden z nich pochwalił się, że ma trzy córki. Wieku nie podał wprost, lecz rzekł:

— Iloczyn wieku moich córek wynosi 36.

— Za mało danych bym odgadł wiek Twoich córek — odrzekł kolega.

— Suma wieku moich córek jest równa liczbie stolików w tej kawiarni — dodał tata matematyk.

— Ciągle za mało danych — odpowiedział kolega.

— Masz rację. Wiedz zatem, że najstarsza nie jest blondynką — dopowiedział ojciec trzech córek.

I wówczas jego kolega bezbłędnie wymienił wiek każdej z trzech córek swojego przyjaciela. Ile lat mają córki matematyka?

Exercise 5. Write the following fractions in two ways as shown in the example.

1/10 -> one tenth; one over ten

  1. 1417
  2. 118
  3. 34
  4. 23
  5. 15
  6. 14
  7. 57
  8. 2742
  9. 67
  10. 811

Exercise 6. Write the following equations and inequalities as shown in the example.

2 + 7 = 9 -> 2 plus 7 is equal to 9

  1. 2 + 4 = 6
  2. 3 + 7 ≠ 8
  3. 27/29 < 42/24
  4. 144 > 9
  5. x + 5 ≤ 7
  6. p – 1 ≥ 12
  7. |−5| = 5
  8. 25% = 25/100 = 1/4
  9. 210 = 1024
  10. 3433 = 7

Exercise 7. Rewrite the sentences following the example.

π can be called a transcendental number. -> You can call π a transcendental number.

  1. A rational number can be expressed as the quotient of two integers.
  2. Irrational numbers cannot be represented as repeating decimals.
  3. Real numbers can be thought of as points on the number line.
  4. A real number can be determined by a possibly infinite decimal representation.
  5. An integer can be written without a fractional component.
  6. The set of integers can be denoted by a boldface Z.
  7. The absolute value of x can be expressed as |x|.
  8. A unary operation can be given only one operand.
  9. A binary operation can be used to operate on two operands.
  10. Zero cannot be used as a denominator.

Exercise 8. Dokończ powiedzenie „Nosił wilk razy kilka…” na kilka sposobów, tak aby w każdym dokończeniu był rym. Rymy mogą być durne. Podziel się swoją twórczością w komentarzu na dole strony!

Przykład: Nosił wilk razy kilka, aż spotkał Wróbla Ćwirka

Exercise 9. Answer the questions following the example. It might be helpful to write down the answers first. Practice until you can answer the questions easily without looking at the text.

Are natural numbers denoted by Z? -> No, natural numbers aren’t denoted by Z. Natural numbers are denoted by N, and Z is used to denote integer numbers.

  1. Are integer numbers denoted by R?
  2. Are rational numbers denoted by C?
  3. Are complex numbers denoted by N?
  4. Are real numbers denoted by Q?

Exercise 10. Solve (if possible) and read the following equations and inequalities.

  1. 2 + 72 =
  2. 2 − 4 < 17
  3. |−10| × 40% × 10 ≠ 7
  4. 9 ÷ 3 =
  5. 17 + 210 =
  6. 1234 =
  7. 6 × |−3| =
  8. 83 ÷ 4 ≠ 37
  9. 33 − 14% × 100 < 30
  10. 112 − 2 > 4
  11. 4x + 12y ≤ |247z|
  12. 7p ÷ 11q ≥ 24
  13. 17 + 27 =
  14. 33 + 22 =
  15. 164 =
  16. 1 + 1 =
  17. 2 − 12 =
  18. 3 × 6 =
  19. 10000 ÷ 10 =
  20. 83 × 38 + 12 =

Exercise 11. Read the definitions of sets following the example.

{x | x ∈ N, x < 20} -> the set of all x, such that x is an element of the natural numbers and x is less than 20

  1. {p | p ∈ R, p > 100}
  2. {x | x ∈ Q, x ≥ 30}
  3. {y | y ∈ Z, y < 12}
  4. {z | z ∈ N, z > 27}
  5. {i | i ∈ R, i ≤ 247}

Exercise 12. Translate the following texts into English.

  1. Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić w postaci stosunku p/q dwóch liczb całkowitych p/q, przy czym mianownik q nie może być równy 0. Każda liczba wymierna to także liczba całkowita. Zbiór liczb wymiernych zazwyczaj oznacza się symbolem Q.
  2. Liczba rzeczywista to liczba, którą można przedstawić jako punkt na linii ciągłej zwanej osią liczbową. Każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego, w którym każda kolejna cyfra oznacza wartość dziesięć razy mniejszą od poprzedniej. Zbiór liczb rzeczywistych zazwyczaj oznacza się symbolem R.
  3. Liczba całkowita to liczba pozbawiona części ułamkowej. Wszystkie liczby całkowite są zarazem liczbami naturalnymi i rzeczywistymi. Zbiór liczb całkowitych zazwyczaj oznacza się symbolem Z.

Exercise 13. Watch the following video and answer the following questions.

  1. If you know how to solve equations, solving inequalities is pretty difficult or pretty simple?
  2. What does the author compare the greater than sign to?
  3. What does the y ≤ 5 inequality mean?
  4. Is solving inequalities the same as or different than solving equations?
  5. If the solution of an inequality includes the result number, how do you mark it on the number line? How do you mark the result number if it isn’t included in the solution of the inequality?
  6. What is a good way to check if a number satisfies an inequality?
  7. What is the only difference between inequalities and equalities?
  8. Graph the solution of the inequality 2x + 4 ≤ 16 on a number line.

Exercise 14. Translate the text into Polish.

Exercise 15. Summarize the text orally using questions from exercise 2 as an outline. Practice until you can say the summary without looking at the text.

Exercise 16. Translate the following poem into Polish. Show your translation off in a comment at the bottom of the page! This exercise is optional but recommended.

I’m sure that I will always be,
a lonely number like root three.
The three is all that’s good and right,
why must my three keep out of sight?

Beneath the vicious square root sign,
I wish instead I were a nine
For nine could thwart this evil trick,
with just some quick arithmetic.

I know I’ll never see the sun,
as 1.7321.
Such is my reality,
a sad irrationality.

When hark! What is this I see,
another square root of a three!
As quietly co-waltzing by,
together now we multiply
to form a number we prefer,
rejoicing as an integer.

We break free from our mortal bonds
with the wave of magic wands.
Our square root signs become unglued
Your love for me has been renewed.

Dave Feinberg

Źródła:

Treść tej strony dostępna jest na zasadach licencji CC BY-SA 3.0

Zobacz również:

Autor: Łukasz Piwko

Tłumacz angielskiej i francuskiej literatury specjalistycznej, nauczyciel, wykładowca i maniak technologii programistycznych. Interesuje go wszystko, co związane z programowaniem i tłumaczeniem tekstów na ten temat na język polski. W wolnym czasie czyta Balzaka, słucha muzyki i trenuje karate.

Dyskusja

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *